Topologieoptimierung

Die Topologieoptimierung als Teil der Strukturoptimierung hilft Ingenieuren dabei, Produkte bzw. einzelne Bauteile so zu gestalten, dass an sie gestellte Anforderungen optimal erfüllt werden. Das kann beispielsweise eine maximale Steifigkeit bei niedrigem Volumen oder eine maximale Festigkeit bei niedrigem Gewicht sein. Dadurch kann ein großes Einsparpotenzial in Form von weniger Energieeintrag im Herstellungsverfahren des Produkts, weniger Materialeinsatz und weniger Arbeitseinsatz bei der Entwicklung ausgeschöpft werden. Diese Vorteile ermöglichen eine Konstruktion und Produktion, die die Prinzipien der Nachhaltigkeit erfüllen.
Um diese Einsparpotenziale bestmöglich nutzen zu können, findet die Topologieoptimierung in der frühen Konzeptionsphase des Produktentwicklungsprozesses  Anwendung. Hier besteht noch eine große Freiheit in den Gestaltungsmöglichkeiten, die später einen großen Einfluss auf die weiteren entstehenden Kosten haben. Gleichzeitig sind die zu diesem Zeitpunkt entstehenden Kosten für Änderungen sehr gering.
Der Aufwand für eine Topologieoptimierung ist sehr niedrig. Zunächst wird vom Anwender definiert, welcher Bauraum für das betrachtete Bauteil zur Verfügung steht. Dann wird angegeben, welche Belastungen an welcher Stelle auf das Bauteil wirken und wo die Gestalt nicht verändert werden soll, z. B. an Bohrungen. Danach kann die Optimierung bereits gestartet werden und die Optimierungssoftware erledigt den Rest.
Je nachdem, welches Verfahren verwendet wird und welches Ziel angestrebt wird, bezieht die Optimierungssoftware aus einer Finiten Elemente Analyse (FEA) die entsprechenden Daten, die zur Weiterverarbeitung benötigt werden. Das können unter anderem Verschiebungen ebenso wie Spannungen im Bauteil sein.
Mit Hilfe der Daten aus der FEA wird die Struktur des Bauteils angepasst, indem der Elastizitätsmodul (E-Modul) der finiten Elemente variiert wird. Dabei soll ein niedriger E-Modul ein Loch darstellen und ein hoher E-Modul die feste Struktur. Mit dieser neuen Verteilung der E-Moduli wird in der nächsten Iteration wieder eine FEA durchgeführt, wobei ein Element mit niedrigem E-Modul ein sehr weiches Verhalten aufweist und somit – quasi wie ein Loch – nicht zur Festigkeit oder Steifigkeit der Struktur beiträgt. Bei manchen Verfahren wird der E-Modul erst mittelbar über eine andere Größe bestimmt. Sämtliche Variablen, die durch den Optimierungsalgorithmus verändert werden, werden als Designvariablen bezeichnet.
Wie der E-Modul angepasst wird, hängt vom Verfahren ab, das verwendet wird. Die existierenden Verfahren lassen sich grob in die beiden Gruppen der mathematischen und empirischen Verfahren gliedern. Bei den mathematischen Verfahren werden die Designvariablen aufgrund einer mathematisch hergeleiteten Gesetzmäßigkeit verändert, was dann zum Optimum führt. Bei empirischen Verfahren werden die Designvariablen hingegen auf der Basis einer Vorschrift verändert, die auf der Vermutung der Optimalität basieren und in der Regel mit wenig Rechenaufwand gute Ergebnisse liefern. In Z88Arion® sind Verfahren aus beiden Gruppen realisiert.

Linear statische Analyse

Mit der linearen Finite-Elemente-Analyse begann in den 50er Jahren die Erfolgsgeschichte der Finite-Elemente-Berechnung in der Praxis.

Bei dieser Art der Berechnung wird davon ausgegangen, dass das Ergebnis proportional zu den aufgebrachten Lasten ist. Durch diese Annahme wird die Lösung des Problems enorm vereinfacht.

Dennoch hat diese Methode noch lange nicht ausgedient. Die meisten Gegenstände des täglichen Lebens verformen sich in gewissen Bereichen linear-elastisch. So ist die lineare FEA die einfachste und schnellste Möglichkeit, Berechnungen durchzuführen. Sie liefert auf diese Art dem Konstrukteur wichtige Informationen über die Bauteilfestigkeit und potentielle Schwachstellen.

Z88Aurora

Z88Aurora® bietet vier numerische Gleichungslöser für die linear statische Berechnung:

  • ein direkter Cholesky-Gleichungslöser mit Jenningsspeicherung für kleine Balken und Stab-Strukturen
  • zwei unterschiedlich präkonditionierte, iterative Gleichungslöser mit Sparse-Speicherung für große Finite-Elemente-Strukturen
  • ein direkter Multicore-Gleichungslöser (PARDISO) mit Sparse-Speicherung für mittelgroße Finite-Elemente-Strukturen

Diese Solver verfügen über folgende Merkmale:

  • 25 integrierte Finite-Elemente:
    • Strukturelemente (Stäbe, Balken und Wellen)
    • Kontinuumselemente (Tetraeder und Hexaeder) mit verschiedenen Elementansätzen (linear, kubisch)
    • verschiedene spezielle Elemente (z.B. Schalen, Kontinuumsschalen, Tori und Platten) mit verschiedenen Elementansätzen (linear, kubisch)
  • Die Berechnung der Spannungen geschieht wahlweise anhand dreier Spannungshypothesen:
    • Gestaltänderungsenergie-Hypothese GEH, d.h. von Mises
    • Normalspannungs-Hypothese NH, d.h Rankine
    • Schubspannungs-Hypothese SH, d.h. Tresca

Z88OS

Unter Z88V14OS stehen folgende Gleichungslöser für linear statische Berechnungen zur Verfügung:

  • ein Cholesky-Solver mit Jennings-Speicherung
  • ein Sparsematrix- Iterationssolver (CG preconditioned) für sehr große Strukturen

Diese Z88OS-Solver sind wie folgt charakterisiert:

  • 24 integrierte Finite-Elemente:
    • Strukturelemente (Stäbe, Balken und Wellen)
    • Kontinuumselemente (Tetraeder und Hexaeder)
    • verschiedene spezielle Elemente, wie z.B. Schalen, Kontinuumsschalen, Tori und Platten
    • verschiedene Elementansätzen von linear bis kubisch
  • Ausgabe von Spannungen anhand von drei Spannungshypothesen:
    • Gestaltänderungsenergie-Hypothese GEH, d.h. von Mises
    • Normalspannungs-Hypothese NH, d.h Rankine
    • Schubspannungs-Hypothese SH, d.h. Tresca

Nichtlineare Analyse

Seit der Version V2 bietet Z88Aurora® auch die Möglichkeit nichtlinearer Analysen. Es können geometrische Nichtlinearitäten erfasst werden, die bei großen Verschiebungen auftreten. Diese Art von Nichtlinearität tritt aufgrund starker Änderungen der Geometrie im Laufe der Deformation auf. Bauteile, die sich sehr stark verformen, weisen in ihrem Steifigkeitsverhalten mit hoher Wahrscheinlichkeit geometrische Nichtlinearitäten auf. Sie sollten daher auch nichtlinear berechnet werden, da sich sonst sehr starke Fehler in Verschiebungen, Kräften und Spannungen ergeben können.

Ab Version V3 können in Z88Aurora® nun auch Materialnichtlinearitäten berücksichtigt werden. Diese treten bei hohen Spannungen bzw. Dehnungen auf. Hier müssen zusätzliche Materialdaten wie beispielsweise die Fließkurve hinterlegt werden, um eine Simulation durchführen zu können. In Z88Aurora® besteht dann die Möglichkeit, plastisches Materialverhalten zu beschreiben und bleibende Deformationen sowie Rückfederungseffekte zu berechnen. Außerdem ergibt sich bei hohen Lasten eine sehr viel genauere Spannungsberechnung. Schließlich können auch Eigenspannungen berechnet werden, die durch plastische Umformung entstehen.

In Z88Aurora® steht ein iterativer Gleichungslöser für nichtlineare Berechnungen zur Verfügung. Dieser hat folgende Eigenschaften:

  • Unterstützte Elementtypen für geometrische Nichtlinearität
    • Hexaeder Nr. 1 (linear) & Nr. 10 (quadratisch)
    • Tetraeder Nr. 16 (quadratisch) & Nr. 17 (linear)
    • Scheibe Nr. 7 und Torus Nr. 8
    • Stab 3D Nr. 4
  • Unterstützte Elementtypen für Plastizität
    • Hexaeder Nr. 1 (linear)
    • Tetraeder Nr. 16 (quadratisch)
  • Elastisch-plastische Materialmodelle:
    • von Mises
    • Wehmann & modifiziertes Wehmann
  • Mit oder ohne Rückfederung in variabler Schrittanzahl
  • Ergebnisse für jeden Lastschritt darstellbar

Mit Z88V14OS können leider keine nichtlinearen Analysen durchgeführt werden.

Thermische Analyse

Viele Eigenschaften eines Bauteils sind temperaturabhängig und müssen somit bereits in der Entwicklung genauer untersucht werden.

Mit Hilfe der stationären thermischen Finite-Elemente-Analyse können Konstrukteure und Ingenieure in jeder Entwicklungsphase eine Analyse des thermischen Verhaltens ihres Produkts durchführen. Durch eine Kopplung von thermischen und mechanischen Randbedingungen können neben den thermischen Ergebnissen, wie Temperatur oder Wärmestrom, auch thermomechanische Verschiebungen oder Spannungen berechnet werden. So wird sichergestellt, dass die Temperaturen für jedes Bauteil während des Betriebs innerhalb der zulässigen Temperaturbereiche liegen. Eventuell auftretende Sicherheitsprobleme werden somit vorab aufgedeckt und können bereits in einer frühen Phase der Produktentwicklung beseitigt werden.

Z88Aurora® nutzt drei numerische Gleichungslöser für die stationär thermischen bzw. thermomechanischen Berechnungen:

  • Zwei unterschiedlich präkonditionierte, iterative Gleichungslöser mit Sparse-Speicherung für große Finite-Elemente-Strukturen
  • Ein direkter Multicore-Gleichungslöser (PARDISO) mit Sparse-Speicherung für mittelgroße Finite-Elemente-Strukturen
  • Unterstützte Elementtypen
    • Hexaeder Nr. 1 (linear) & Nr. 10 (quadratisch)
    • Tetraeder Nr. 16 (quadratisch) & Nr. 17 (linear)

Z88V14OS verfügt leider nicht über die Möglichkeit, thermischen Analysen durchzuführen.

Eigenschwingungen

Beabsichtigte oder unbeabsichtigte Resonanzphänomene sind jedem aus dem Alltag bestens bekannt, auch wenn es uns oft nicht bewusst ist, dass Eigenschwingungen hier eine Rolle spielen – beispielsweise eine Mutter die ihr Kind auf der Schaukel immer genau am Scheitelpunkt anstößt und somit dem Resonanzsystem „Schaukel-Kind“ weitere Energie überträgt.

Bei einem technischen System führt die Übertragung von immer mehr Energie im Resonanzfall – also wenn die von außen vorgegebene Anregungs- mit einer Eigenfrequenz des Systems übereinstimmt – auf übermäßige Schwingungsamplituden und folglich zur unweigerlichen Zerstörung des Systems, die sogenannte Resonanzkatastrophe. Diese ist insbesondere im Bereich des Bauwesens das Worst-Case-Szenario und unbedingt zu vermeiden. Dazu bedarf es zum Beispiel mittels einer Finite-Elemente-basierten Eigenschwingungsberechnung (Modalanalyse) der Ermittlung aller Eigenfrequenzen des Systems, bei denen beschleunigende und dämpfende Knotenkräfte, die durch Massenträgheit beziehungsweise Rückstellkräfte aus Steifigkeitseigenschaften hervorgerufen werden, sich gerade die Waage halten. Diese für jedes Bauteil charakteristischen Frequenzen haben jeweils eine zugehörige Eigenform, die die Verformung des Bauteils bei der Schwingung mit jener Eigenfrequenz annehmen würde. Auf Basis der simulationsgestützten Bestimmung dieser Kenngrößen obliegt es dann dem Konstrukteur, Designer und Entwickler seine Rückschlüsse zu ziehen, damit praxisrelevante Last- nicht mit den Eigenfrequenzen der Struktur zusammenfallen.

In Z88Aurora® können Sie einen Gleichungslöser zur Eigenschwingungsberechnung verwenden. Dieser hat folgende Eigenschaften:

  • Unterstützte Elementtypen
    • Hexaeder Nr. 1 (linear) & Nr. 10 (quadratisch)
    • Tetraeder Nr. 16 (quadratisch) & Nr. 17 (linear)
  • Lanczos-Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte und Modenformvektoren
  • Inkrementelle Darstellung der Eigenfrequenzen im Postprozessor
  • Anzahl der berechneten Eigenmoden frei wählbar

Mit Z88V14OS können leider keine Modalanalysen durchgeführt werden.